Чему равна жесткость пружины? Как найти коэффициент жесткости пружины Нахождение коэффициента жесткости.
Если под воздействием внешних сил на твердое тело оно деформируется, то в нем происходят смещения частиц узлов кристаллической решетки. Этому сдвигу противостоят силы взаимодействия частиц. Так возникают силы упругости, которые приложены к телу, подвергшемуся деформации. Модуль силы упругости пропорционален деформации:
где — напряжение при упругой деформации, K — модуль упругости, который равен напряжению при относительной деформации, равной единице. где — относительная деформация, — абсолютная деформация, — первоначальное значение величины, которая характеризовала форму или размеры тела.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Коэффициентом упругости называют физическую величину, которая связывает в законе Гука удлинение, возникающее при деформации упругого тела и силу упругости. Величина равная называется коэффициентом упругости. Она показывает изменение размера тела под воздействием нагрузки при упругой деформации.
Коэффициент упругости зависит от материала тела, его размеров. Так при увеличении длины пружины и уменьшении ее толщины коэффициент упругости уменьшается.
Модуль Юнга и коэффициент упругости
При продольной деформации, в одностороннем растяжении (сжатии) мерой деформации служит относительное удлинение, которое обозначают или . При этом модуль силы упругости определяют как:
где — модуль Юнга, который в рассматриваемом случае равен модулю упругости () и характеризующий упругие свойства тела; — первоначальная длина тела; — изменение длины при нагрузке . При S — площадь поперечного сечения образца.
Коэффициент упругости растянутой (сжатой) пружины
При растяжении (сжатии) пружины вдоль оси X закон Гука записывается как:
где — модуль проекции силы упругости; — коэффициент упругости пружины, — удлинение пружины. Тогда коэффициент упругости — это сила, которую следует приложить к пружине, чтобы изменить ее длину на единицу.
Единицы измерения
Основной единицей измерения коэффициента упругости в системе СИ является:
Примеры решения задач
ПРИМЕР 1
| Задание | Какова работа, совершается при сжатии пружины на величину ? Считать, что сила упругости пропорциональна сжатию, коэффициент упругости пружины равен k. |
| Решение | В качестве основной формулы используем определение работы вида:
Сила по условию пропорциональна величине сжатия, что математически можно представить как: Подставим выражения для силы (1.2) в формулу (1.1):
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Вагон массой двигался со скоростью . Он ударился о стенку. При ударе каждый буфер вагона сжался на l м. Буферов два. Каковы коэффициенты упругости пружин, если считать, что они равны? |
| Решение | Сделаем рисунок.
|
Определение и формула коэффициента жесткости пружины
Сила упругости (), которая возникает в результате деформации тела, в частности пружины, направленная в сторону противоположную перемещению частиц, деформируемого тела, пропорциональна удлинению пружины:
Он зависит от формы тела, его размеров, материала из которого изготовлено тело (пружина).
Иногда коэффициент жесткости обозначают буквами D и с.
Величина коэффициента жёсткости пружины указывает на устойчивость ее к действию нагрузок и насколько велико ее сопротивление при воздействии.
Коэффициент жесткости соединений пружин
Если некоторое число пружин соединить последовательно, то суммарную жесткость такой системы можно вычислить как:
В том случае, если мы имеем дело с n пружинами, которые соединены параллельно, то результирующую жесткость получают как:
Коэффициент жесткости цилиндрической пружины
Рассмотрим пружину в виде спирали, которая сделана из проволоки с сечением круг. Если рассматривать деформацию пружины как совокупность элементарных сдвигов в ее объеме под воздействие сил упругости, то коэффициент жесткости можно вычислить при помощи формулы:
где - радиус пружины, - количество витков в пружине, - радиус проволоки, - модуль сдвига (постоянная, которая зависит от материала).
Единицы измерения
Основной единицей измерения коэффициента жесткости в системе СИ является:
Примеры решения задач
ru.solverbook.com
Коэффициент упругости - Справочник химика 21
| Рис. 61. Коэффициент упругого расширения кокса, полученного в кубе из крекинг-остатка сернистой девонской нефти и прокаленного при 1300 °С в течение 5 ч | mylink" data-url="http://chem21.info/info/392465/">chem21.info
Элементы теории упругости | Мир сваркиВведениеПод воздействием внешних сил всякое твердое тело изменяет свою форму – деформируется. Деформация, исчезающая с прекращением действия сил, называется упругой. При упругой деформации тела возникают внутренние силы упругости, стремящиеся вернуть телу первоначальную форму. Величина этих сил пропорциональна деформации тела. Деформация растяжения и сжатияВозникающее удлинение образца (Δl) под действием внешней силы (F) пропорционально величине действующей силы, первоначальной длине (l) и обратно пропорционально площади поперечного сечения (S) – закон Гука: Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и характеризует упругие свойства материала. Величина F/S = p называется напряжением. Деформация стержней любых длин и сечений (образцов) характеризуется величиной, называемой относительной продольной деформацией, ε = Δl/l. Закон Гука для образцов любых форм:
Модуль Юнга численно равен напряжению, увеличивающему длину образцов в два раза. Однако разрыв образца наступает при значительно меньших напряжениях. На рис.1 графически изображена экспериментальная зависимость p от ε, где pмакс – предел прочности, т.е. напряжение, при котором на стержне получается местное сужение (шейка), pтек – предел текучести, т.е. напряжение, при котором появляется текучесть (т.е. увеличение деформации без увеличения деформирующей силы), pупр – предел упругости, т.е. напряжение, ниже которого справедлив закон Гука (имеется в виду кратковременное действие силы). Материалы разделяются на хрупкие и пластичные. Хрупкие вещества разрушаются при очень малых относительных удлинениях. Хрупкие материалы обычно выдерживают, не разрушаясь, большее сжатие, чем растяжение. Совместно с деформацией растяжения наблюдается уменьшение диаметра образца. Если Δd – изменение диаметра образца, то ε1 = Δd/d принято называть относительной поперечной деформацией. Опыт показывает, что |ε1/ε| Абсолютная величина μ = |ε1/ε| носит название коэффициент поперечной деформации или коэффициента Пуассона. Сдвигом называют деформацию, при которой все слои тела, параллельные некоторой плоскости, смещаются друг относительно друга. При сдвиге объем деформируемого образца не меняется. Отрезок АА1 (рис.2), на который сместилась одна плоскость относительно другой, называют абсолютным сдвигом. При малых углах сдвига угол α ≈ tg α = АА1/AD характеризует относительную деформацию и его называют относительным сдвигом. где коэффициент G называется модуль сдвига. Сжимаемость веществаВсестороннее сжатие тела приводит к уменьшению объема тела на ΔV и возникновению упругих сил, стремящихся вернуть телу первоначальный объем. Сжимаемостью (β) называется величина, численно равная относительному изменению объема тела ΔV/V при изменении действующего по нормали к поверхности напряжения (p) на единицу. Величина, обратная сжимаемости, носит название модуля объемной упругости (K). Изменение объема тела ΔV при всестороннем увеличении давления на ΔP вычисляется по формуле Соотношения между упругими постояннымиМодуль Юнга, коэффициент Пуассона, модуль объемной упругости и модуль сдвига связаны между собой уравнениями: которые по двум известным упругим характеристикам позволяют, в первом приближении, рассчитать остальные. Потенциальная энергия упругой деформации определяется по формуле Единицы измерения модулей упругости: Н/м2 (СИ), дин/см2 (СГС), кгс/м2 (МКГСС) и кгс/мм2. 1 кгс/мм2 = 9,8·106 Н/м2 = 9,8·107 дин/см2 = 10-6 кгс/м2 Приложение
weldworld.ru Коэффициент упругости - WiKiru-wiki.org Коэффициент упругости - Википедия РУВ последовательном соединении имеется n{\displaystyle n} пружин с жёсткостями k1,k2,...,kn.{\displaystyle k_{1},k_{2},...,k_{n}.} Из закона Гука (F=−kl{\displaystyle F=-kl} , где l - удлинение) следует, что F=k⋅l.{\displaystyle F=k\cdot l.} Сумма удлинений каждой пружины равна общему удлинению всего соединения l1+l2+...+ln=l.{\displaystyle l_{1}+l_{2}+...+l_{n}=l.} На каждую пружину действует одна и та же сила F.{\displaystyle F.} Согласно закону Гука, F=l1⋅k1=l2⋅k2=...=ln⋅kn.{\displaystyle F=l_{1}\cdot k_{1}=l_{2}\cdot k_{2}=...=l_{n}\cdot k_{n}.} Из предыдущих выражений выведем: l=F/k,l1=F/k1,l2=F/k2,...,ln=F/kn.{\displaystyle l=F/k,\quad l_{1}=F/k_{1},\quad l_{2}=F/k_{2},\quad ...,\quad l_{n}=F/k_{n}.} Подставив эти выражения в (2) и разделив на F,{\displaystyle F,} получаем 1/k=1/k1+1/k2+...+1/kn,{\displaystyle 1/k=1/k_{1}+1/k_{2}+...+1/k_{n},} что и требовалось доказать. http-wikipediya.ru Коэффициент Пуассона, формула и примерыОпределение и формула коэффициента ПуассонаОбратимся к рассмотрению деформации твердого тела. В рассматриваемом процессе происходит изменение размеров, объема и часто формы тела. Так, относительное продольное растяжение (сжатие) объекта происходит при его относительном поперечном сужении (расширении). При этом продольная деформация определена формулой:
где - длина образца до деформации, - изменение длины при нагрузке. Однако, при растяжении (сжатии) происходит не только изменение длины образца, но и при этом меняются поперечные размеры тела. Деформация в поперечном направлении характеризуется величиной относительного поперечного сужения (расширения):
где - диаметр цилиндрической части образца до деформации (поперечный размер образца). Эмпирически получено, что при упругих деформациях выполняется равенство:
Коэффициент Пуассона в совокупности с модулем Юнга (E) является характеристикой упругих свойств материала. Коэффициент Пуассона при объемной деформацииЕсли коэффициент объемной деформации () принять равным:
где - изменение объема тела, - первоначальный объем тела. То при упругих деформациях выполняется соотношение: Часто в формуле (6) отбрасывают члены малых порядков и используют в виде: Для изотропных материалов коэффициент Пуассона должен находиться в пределах: Существование отрицательных значений коэффициента Пуассона означает, что при растяжении поперечные размеры объекта могли бы увеличиваться. Это возможно при наличии физико-химических изменений в процессе деформации тела. Материалы, у которых коэффициент Пуассона меньше нуля называют ауксетиками. Максимальная величина коэффициента Пуассона является характеристикой более эластичных материалов. Минимальное значение его относится к хрупким веществам. Так стали имеют коэффициент Пуассона от 0,27 до 0,32. Коэффициент Пуассона для резин варьируется в пределах: 0,4 - 0,5. Коэффициент Пуассона и пластическая деформацияВыражение (4) выполняется и при пластических деформациях, однако в таком случае коэффициент Пуассона зависит от величины деформации: С ростом деформации и возникновении существенных пластических деформаций Опытным путем установлено, что пластическая деформация происходит без изменения объема вещества, так как этот вид деформации возникает за счет сдвигов слоев материала. Единицы измеренияКоэффициент Пуассона - это физическая величина, не имеющая размерности. Примеры решения задачru.solverbook.com Коэффициент Пуассона - WiKiЭта статья - о параметре, характеризующем упругие свойства материала. О понятии в термодинамике см. Показатель адиабаты.Коэффициент Пуассона (обозначается как ν{\displaystyle \nu } или μ{\displaystyle \mu }) - величина отношения относительного поперечного сжатия к относительному продольному растяжению. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец. Коэффициент Пуассона и модуль Юнга полностью характеризуют упругие свойства изотропного материала. Безразмерен, но может быть указан в относительных единицах: мм/мм, м/м. Однородный стержень до и после приложения к нему растягивающих сил. Приложим к однородному стержню растягивающие его силы. В результате воздействия таких сил стержень в общем случае окажется деформирован как в продольном, так и в поперечном направлениях. Пусть l{\displaystyle l} и d{\displaystyle d} длина и поперечный размер образца до деформации, а l′{\displaystyle l^{\prime }} и d′{\displaystyle d^{\prime }} - длина и поперечный размер образца после деформации. Тогда продольным удлинением называют величину, равную (l′−l){\displaystyle (l^{\prime }-l)} , а поперечным сжатием - величину, равную −(d′−d){\displaystyle -(d^{\prime }-d)} . Если (l′−l){\displaystyle (l^{\prime }-l)} обозначить как Δl{\displaystyle \Delta l} , а (d′−d){\displaystyle (d^{\prime }-d)} как Δd{\displaystyle \Delta d} , то относительное продольное удлинение будет равно величине Δll{\displaystyle {\frac {\Delta l}{l}}} , а относительное поперечное сжатие - величине −Δdd{\displaystyle -{\frac {\Delta d}{d}}} . Тогда в принятых обозначениях коэффициент Пуассона μ{\displaystyle \mu } имеет вид: μ=−ΔddlΔl.{\displaystyle \mu =-{\frac {\Delta d}{d}}{\frac {l}{\Delta l}}.} Обычно при приложении к стержню растягивающих усилий он удлиняется в продольном направлении и сокращается в поперечных направлениях. Таким образом, в подобных случаях выполнятся Δll>0{\displaystyle {\frac {\Delta l}{l}}>0} и Δdd<0{\displaystyle {\frac {\Delta d}{d}}<0} , так что коэффициент Пуассона положителен. Как показывает опыт, при сжатии коэффициент Пуассона имеет то же значение, что и при растяжении. Для абсолютно хрупких материалов коэффициент Пуассона равен 0, для абсолютно несжимаемых - 0,5. Для большинства сталей этот коэффициент лежит в районе 0,3, для резины он равен приблизительно 0,5. Существуют также материалы (преимущественно полимеры), у которых коэффициент Пуассона отрицателен, такие материалы называют ауксетиками. Это значит, что при приложении растягивающего усилия поперечное сечение тела увеличивается. К примеру, бумага из однослойных нанотрубок имеет положительный коэффициент Пуассона, а по мере увеличения доли многослойных нанотрубок наблюдается резкий переход к отрицательному значению −0,20. Отрицательным коэффициентом Пуассона обладают многие анизотропные кристаллы, так как коэффициент Пуассона для таких материалов зависит от угла ориентации кристаллической структуры относительно оси растяжения. Отрицательный коэффициент обнаруживается у таких материалов, как литий (минимальное значение равно −0.54), натрий (−0.44), калий (−0.42), кальций (−0.27), медь (−0.13) и других. 67 % кубических кристаллов из таблицы Менделеева имеют отрицательный коэффициент Пуассона. |
При производстве на предприятии и для применения необходимо определить способность пружины выдерживать определенные типы нагрузок. Для этого высчитывается т.н. коэффициент Гука – обозначение жесткости пружины, от которого зависит её надёжность. На этот параметр влияет материал, выбранный для изготовления. Это может быть сталь, легированная кремнием, ванадием, марганцем, другими добавками. Также применяются нержавейка, бериллиевая и кремнемарганцевая бронза, сплавы на основе никеля и титана.
Если деталь выпускается для применения при высоких нагрузках, экстремальных температурах, используются специальные марки легированной стали. Нижегородская метизная корпорация имеет возможность производить пружины под заказ, создавая изделия с заданными характеристиками.
Что такое жесткость?
Говоря о практике, а не физических терминах, это сила, приложив которую, можно сжать пружину. Если вы знаете прилагаемое усилие, можно определить, какой будет деформация, и наоборот. Это существенно облегчает вычисления.
Коэффициент высчитывается для пружин кручения, растяжения, изгиба, сжатия – всех наиболее популярных в промышленности разновидностей этого изделия. Также следует отметить два основных типа:
- С линейной (постоянной) жесткостью;
- С прогрессивной (зависящей от положения витков) жесткостью.
Часто производитель наносит на готовую продукцию пометку краской. Если такого обозначения нет, применяется формула определения жесткости пружины через массу и длину, упрощающая задачу. Она изначально разрабатывалась для пружин растяжения, была получена методом измерения соответствия массы грузы с изменениями геометрии.
Также данный параметр может быть прогрессирующим – растущим - или регрессирующим – убывающим. Во втором случае параметр "жесткости" принято называть "мягкостью". В отдельных механизмах, например, в автомобилестроении, этот параметр особенно актуален.
Какие вводные данные требуются?
При расчёте важно знать следующую информацию:
- Из какого материала выполнено изделие;
- Точный диаметр витков – Dw ;
- Общий диаметр самой пружины – Dm ;
- Количество витков – Na .
Таким образом, к коэффициенту жесткости пружинного механизма может применяться формула:
k=G*(Dw)^4/8 * Na * (Dm)^3 .
Переменная G означает модуль сдвига. Это значение можно найти в таблицах для разных материалов. К примеру, у пружинной стали G=78,5 ГПа .
Длина L бывает двух типов:
- L1 – измеренная в вертикальном положении без груза;
- L2 – полученная при подвешивании груза с точно известной массой.
Например, 100 -граммовая гиря, закреплённая в нижней части, воздействует с силой F , равной 1 Н . Получаем разницу между двумя показателями длины:
L = L2 – L1 .
При этом следует уточнить, что степень жесткости не определяет распрямление в исходное состояние. На него воздействуют сразу несколько факторов.
Насколько важен показатель, и на что он влияет?
Характеристики пружины важны не только для соответствия ГОСТам и проведения сертификации. Они влияют на сроки эксплуатации изделий, в которых используются, а это огромное количество приборов, деталей, механизмов, от мебели, до различных транспортных средств.
Поэтому данная величина напрямую влияет на надёжность готовых изделий, оборудования, техники, в которых используются элементы, содержащие пружины.
Часто люди интересуются, как рассчитать жесткость пружины цилиндрической винтовой. Для таких случаев учитывается не только модуль сдвига, но и параметр Rs – напряжение, допускаемое при кручении. Здесь в расчёт берётся тип материала, его физические свойства, механические характеристики.
Следующий вопрос – в чем измеряется коэффициент жесткости пружины при расчётах. Традиционно в системе измерений, принятой в нашей стране принято записывать значение в Н/м – ньютонах на один метр. Также это значение в качестве альтернативного варианта может записываться в килограммах на квадратный сантиметр, дин/см, граммах на квадратный сантиметр (расчёты в системе СГС).
Пружины это элемент упругий, посредством которого механизмам передается вращательное движение, ими комплектуются практически все механизмы. Надежность данного изделия, и ее служба зависят от такого понятия как жесткость пружины . Именно от жесткости зависит насколько надежным будет работа механизма в различных эксплуатационных условиях. «» определяется необходимым для ее сжатия усилием. Расправка пружины это несколько иной вопрос, который находится в прямой зависимости от материла, из которого пружина выполнена. Кстати, не всегда высокая жесткость пружины, обуславливает ее долгую службу. Скорее это зависит от механизма, который пружина приводит в действие.
Виды жёсткости:
Пружины, по своим разновидностям делятся на типы. Каждый тип, применяется в определенных механизмах. В целом востребованы пружины спиральные, рессоры, конические, пружины тарельчатые и цилиндрические. «Жесткость пружины» определяет и тот фактор, как она передает механизму собственную деформацию. Так, пружины имеют еще одну важнейшую характеристику, деформационную, которая делит пружины на , и конечно .
разнообразного сечения. Так, получают пружины, которыми затем комплектуются различные разновидности оборудования, механизмов, автомобилей.
Как высчитать коэффициент жесткости пружины?
При производстве пружин, обязательно принимается в расчеты коэффициент жесткости, который собственно и служит показателем продолжительности службы изделия. «» вычисляется в соответствии с расчетной формулой.
Так, например, если взять стандартную цилиндрическую витую пружину изготовленную из обычной цилиндрической проволоки, то коэффициент можно высчитать посредством следующей формулы:
В формуле за обозначение G следует принять модуль сдвига. Если пружина медная, то он будет равен примерно 45 ГПа, а если просто стальная, то модуль будет равняться примерно 80 ГПа. Буквой n обозначено число витков, которое имеет пружина, а dF это диаметр намотки. Остается обозначение dD, но оно только обозначает диаметр проволоки, из которой пружина и изготовлена. Собственно, арифметика довольно проста, если только выполнить соответствующие замеры, и вместо видимых букв и значений подставить цифровые эквиваленты.
Груз, подвешенный на пружине, вызывает ее деформацию. Если пружина способна восстановить первоначальную форму, то ее деформация называется упругой.
При упругих деформациях выполняется закон Гука:
где F упр ¾ сила упругости; k ¾ коэффициент упругости (жесткость); Dl - удлинение пружины.
Примечание : знак “-” определяет направление силы упругости.
Если груз находится в равновесии, то сила упругости численно равна силе тяжести: k Dl = m g , тогда можно найти коэффициент упругости пружины:
где m ¾ масса груза; g ¾ ускорение свободного падения.
 |  |
|
| Рис.1 | Рис. 2 |
При последовательном соединении пружин (см. рис.1) силы упругости, возникающие в пружинах, равны между собой, а общее удлинение системы пружин складывается из удлинений в каждой пружине.
Коэффициент жесткости такой системы определяется по формуле:
где k 1 - жесткость первой пружины; k 2 - жесткость второй пружины.
При параллельном соединении пружин (см. рис. 2) удлинение пружин одинаково, а результирующая сила упругости равна сумме сил упругости в отдельных пружинах.
Коэффициент жесткости при параллельном соединении пружин находится по формуле:
k рез = k 1 + k 2 . (3)
Порядок выполнения работы
1. Прикрепить пружину к штативу. Подвешивая к каждой пружине грузы в порядке возрастания их массы, измерять удлинение пружины Dl .
2. По формуле F = mg рассчитать силу упругости.
3. Построить графики зависимости силы упругости от величины удлинения пружины. По виду графиков определить выполняется ли закон Гука.
5. Найти абсолютную погрешность каждого измерения
Dk i = êk i - k ср ê.
6. Найти среднее арифметическое значение абсолютной погрешности D k ср.
7. Результаты измерений и расчетов занести в таблицу.
1. Провести измерения (как описано в задании 1) и рассчитать коэффициенты упругости последовательно и параллельно соединенных пружин.
2. Найти среднее значение коэффициентов и погрешности их измерений. Результаты измерений и вычислений занести в таблицу.
4. Найти погрешность эксперимента, сравнив теоретические значения коэффициента упругости с экспериментальными по формуле:
.
| m , кг | |||||||
| F , Н | |||||||
| Первая пружина | |||||||
| Dl 1 , м | |||||||
| k 1 , Н/м | k ср = | ||||||
| D k 1 , Н/м | D k ср = | ||||||
| Вторая пружина | |||||||
| Dl 2 , м | |||||||
| k 2 , Н/м | k ср = | ||||||
| D k 2 , Н/м | D k ср = | ||||||
| Последовательное соединение пружин | |||||||
| Dl , м | |||||||
| k , Н/м | k ср = | ||||||
| D k , Н/м | D k ср = | ||||||
| Параллельное соединение пружин | |||||||
| Dl , м | |||||||
| k , Н/м | k ср = | ||||||
| D k , Н/м | D k ср = |
Контрольные вопросы
Сформулируйте закон Гука.
Дайте определение деформации, коэффициента упругости. Назовите единицы измерения этих величин в СИ.
Как находится коэффициент упругости для параллельного и последовательного соединения пружин?
Лабораторная работа № 1-5
Изучение законов динамики
Поступательного движения
Теоретические сведения
Динамика изучает причины, вызывающие механическое движение.
Инерция - способность тела сохранять состояние покоя или прямолинейного равномерного движения, если на это тело не действуют другие тела.
Масса m (кг) - количественная мера инертности тела.
Первый закон Ньютона :
Существуют такие системы отсчета, в которых тело находится в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения, если на него не действуют другие тела.
Системы отсчета, в которых выполняется первый закон Ньютона, называют инерциальными .
Сила (Н ) - векторная величина, характеризующая взаимодействие между телами или частями тела.
Принцип суперпозиции сил :
Если на материальную точку действуют одновременно силы и , то их можно заменить равнодействующей силой .
